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NCERT Solutions Class 11 गणित-I Chapter-2 (संबंध एवं फलन)

NCERT Solutions Class 11 गणित-I Chapter-2 (संबंध एवं फलन)

NCERT Solutions Class 11  गणित-I  11 वीं कक्षा से Chapter-2 (संबंध एवं फलन) के उत्तर मिलेंगे। यह अध्याय आपको मूल बातें सीखने में मदद करेगा और आपको इस अध्याय से अपनी परीक्षा में कम से कम एक प्रश्न की उम्मीद करनी चाहिए। 
हमने NCERT बोर्ड की टेक्सटबुक्स हिंदी गणित-I के सभी Questions के जवाब बड़ी ही आसान भाषा में दिए हैं जिनको समझना और याद करना Students के लिए बहुत आसान रहेगा जिस से आप अपनी परीक्षा में अच्छे नंबर से पास हो सके।
Solutions Class 11 गणित-I Chapter-2 (संबंध एवं फलन)


एनसीईआरटी प्रश्न-उत्तर

Class 11 गणित-I

पाठ-2 (संबंध एवं फलन)

अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर

Exercise 2.1

Solutions Class 11 गणित-I Chapter-2 (संबंध एवं फलन)

प्रश्न 2.

यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B = {3, 4, 5}, तो A x B में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

समुच्चयं A में 3 अवयव है और समुच्चय B में भी 3 अवयव हैं।

A x B में अंवयवों की संख्या = 3 x 3 = 9.

प्रश्न 3.

यदि G = {7, 8} और H = {5, 4, 2}, तो G x H तथा H x G ज्ञात कीजिए।

हल:

G = {7, 8}, H = {5, 4, 2} G x H = {7, 8} x {5, 4, 2}

= {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}

तथा

H x G = {5, 4, 2} x {7, 8} = {(5, 7), (5, 8), (4,7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}

प्रश्न 4.

बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य है। यदि कथन असत्य है, तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए।

(i) यदि P= {m, n} और 2 = {n, m} तो P x Q = {(m, n), (n, m)}.

(ii) यदि A और B अरिक्त समुच्चय हैं, तो A x B क्रमित युग्मों (x, y) का एक अरिक्त समुच्यय है इस प्रकार कि x ∈ A तथा y ∈ B.

(iii) यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A x (B ∩ Φ) = Φ

हल:

(i) दिया है :

P = {m, n}

Q = {n, m }

P x Q = {m, n} x {n, m} = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}

अतः दिया गया P x Q = {(m, n), (n, m),} कथन असत्य है।

(ii) सत्य है क्योंकि A x B क्रमित युग्म (x, y) का अरिक्त समुच्चय है जिसमें

x ∈ A तथा y ∈ B.

(iii) सत्य है क्योंकि B ∈ Φ = Φ

A x (B ⊂ Φ ) = A x Φ = Φ.

प्रश्न 5.

यदि A= {-1, 1}, तो A x A x A ज्ञात कीजिए।

हल:

A = {(-1, 1)}

A x A = {-1, 1} x {-1, 1} = {(-1,-1), (-1, 1), (1,- 1), (1,1)}

A x A x A = {-1, 1} x {(-1, – 1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)} = {(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)}.

प्रश्न 6.

यदि A x B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} तो A तथा B ज्ञात कीजिए।

हल:

A x B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} = {a, b} x {x, y}

अतः A = {a, b}, B = {x, y}.

प्रश्न 7.

मान लीजिए कि A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} तथा D = {5, 6, 7, 8} सत्यापित कीजिए कि

(i) A x (B ∩ C)= (A x B) ∩ (A x C)

(ii) A x C, B x D का एक उपसमुच्चय है।

हल:

दिया है। A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6}, D = {5, 6, 7, 8}

बायाँ पक्ष = A x (B ∩ C) {1, 2} x {{1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6}) = {1, 2} x Φ = Φ

दायाँ पक्ष = (A x B) ∩ (A x C)

= [{1, 2} x {1, 2, 3, 4}] ∩ [{1, 2} { {5, 6}]

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}

= Φ

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

A x C = {1, 2} x {5, 6} = {{1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}

B x D = {1, 2, 3, 4} x {5, 6, 7, 8}

= {(1,5), (1,6), (1, 7), (1, 8), (2,5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}

हम पाते हैं कि A x C के सभी अवयव समुच्चय B x D में स्थित हैं।

अतः A x C ⊂ B x D.

प्रश्न 8.

मान लीजिए कि A = {1, 2} और B = {3, 4}. A x B लिखिए। A x B के कितने उपसमुन्। होंगें ? उनकी सूची बनाइए।

हल:

A x B = {1, 2} x {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

A x B के उपसमुच्चयों की संख्या = 24 = 16

A x B के उपसमुच्चयों के अवयव = 6, {(1, 3)}, {(1,4)}, {(2, 3)}, {(2, 4)}, {(1, 3), (1,4)}, {(1, 3)

(2, 3)},{(1, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3)}, {(1, 4), (2,4)}, {(2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}, {(1, 3), (2,3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.

प्रश्न 9.

मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं, जहाँ n(A) = 3 और n(B) = 2. यदि (x, 1), (y, 2), (z, 1), A x B में हैं, तो A और B को ज्ञात कीजिए, जहाँ x, y और z भिन्न-भिन्न अवयव हैं।

हल:

अवयव x, y, z ∈ A अर्थात् A = {x, y, z}

1, 2 ∈ B अर्थात् B = {1, 2}.

प्रश्न 10.

कार्तीय गुणन AXA में 9 अवयव हैं जिनमें (-1, 0) तथा (0, 1) भी हैं। समुच्चय Aज्ञात कीजिए तथा A x A के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए।

हल:

(-1, 0) ∈ A x A ⇒ -1 ∈ A और 0 ∈ A ⇒ -1, 0 ∈ A और

(0, 1) ∈ A ⇒ 0 ∈ A तथा 1 ∈ A

⇒ 0, 1 ∈ A

-1, 0, 1 ∈ A

A = {-1, 0, 1}

A x A = {-1, 0, 1} x {-1, 0, 1}

= {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1,-1), (1,0), (1,1)}

जिसमें (-1, 0), (0, 1) सम्मिलित है।

अत: A x A के शेष अवयव = (-1, -1), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (1,- 1), (1, 0), (1, 1).

Exercise 2.2

प्रश्न 1.

मान लीजिए A = {1, 2, 3, …….14}, R = {x, y) : 3x – y = 0, जहाँ x, y ∈ A} द्वारा A से A का एक संबंध R लिखिए। इसके प्रांत, सहप्रांत और परिसर लिखिए।

हल:

A = {1, 2, 3, …., 14}, R : A जबकि

R = {(x, y) : 3x – y = 0 या y = 3x} = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12),….}

(i) प्रांत : संबंध R के समुच्चयों में x के अवयव = {1, 2, 3, 4}.

सहप्रांत : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.

परिसर : संबंध R के समुच्चयों में y के अवयव = {3, 6, 9, 12}.

प्रश्न 2.

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर R = {x, y) : y = x + 5, x संख्या 4 से कम, एक प्राकृत संख्या है, x, y ∈ N} द्वारा एक संबंध R परिभाषित कीजिए। इस संबंध को

(i) रोस्टर रूप में इसके प्रांत और परिसर लिखिए।

हल:

संबंध R, दिया गया है।

R = {(x, y) : y = x + 5, x, y ∈ N तदा x < 4}

= {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}

(i) प्रान्त = {1, 2, 3}.

परिसर = {6, 7, 8}.

प्रश्न 3.

A = {1, 2, 3, 5) और B = {4, 6, 9}, A से B में एक सम्बन्ध

R = {x, y} : x और y का अंतर विषम है, x ∈ A, y ∈ B} द्वार परिभाषित कीजिए| R को रोस्टर रूप में लिखिए।

हल:

दिया है:

A = {1, 2, 3, 5} और B = {4, 6, 9}. A से B में संबंध,

R = {(x, y) : x, y में अंतर विषम है, x ∈ A, y ∈ B}

= {1, 4,), (1, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)}.

प्रश्न 4.

दी हुई आकृति समुच्चय P से Q का एक संबंर दर्शाती है। इस संबंध को

(i) समुच्चय निर्माण रूप में

(ii) रोस्टर रूप में लिखिए। इसके प्रांत व परिसर क्या हैं ?

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हल:

(i) समुच्चय निर्माण रूप में, R = {(3, y) : y = x – 2, x = 5, 6, 7 के लिए}

(ii) रोस्टर रूप में, R = {(5, 3), (6, 4), (7, 5)}

प्रान्त = {5, 6, 7}

और परिसर = {3, 4, 5}.

प्रश्न 5.

मान लीजिए कि A= {1, 2, 3, 4, 6} मान लीजिए कि R, A पर {(a, b) : a, b ∈ A, संख्या a संख्या b को यथावथ विभाजित करती है। द्वारा परिभाषित एक संबंध है।

(i) R को रोस्टर रूप में लिखिए।

(ii) R का प्रांत ज्ञात कीजिए।

(iii) R का परिसर ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है :

A = {1, 2, 3, 4, 6}

R = {(a, b) : a, b ∈ A, a संख्या b को विभाजित करती है।

(i) रोस्टर रूप में, R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)}

(ii) R का प्रांत = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(iii) R का परिसर = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

प्रश्न 6.

R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} द्वारा परिभाषित संबंध R के प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।

हल:

R = {(x, x + 5) : x ∈ {, 1, 2, 3, 4, 5}} = {(0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10)}

R का प्रांत = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

R का परिसर : {5, 6; 7, 8, 9, 10}.

प्रश्न 7.

संबंध R = {(x, x3) : x संख्या 10 से कम एक अभाज्य संख्या है। को रोस्टर रूप में लिखिए।

हल:

10 से कम अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7

रोस्टर रूप में, R = {(x, x3) : x एक अभाज्य संख्या है जो 10 से कम है।

= {(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)}.

प्रश्न 8.

मान लीजिए कि A= {x, y, z} और B = {1, 2}, A से B के संबंधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है। A = {x, y, z}, B = {1, 2}

A x B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}

n(A x B) = 6

संबंधों की कुल संख्या = A x B के उपसमुच्चयों की संख्या = 26 = 64.

प्रश्न 9.

मान लीजिए कि R, Z पर, R= {(a, b) : a, b ∈ Z, a – b एक पूर्णाक है}, द्वारा परिभाषित एक संबंध है। R के प्रांत व परिसर ज्ञात कीजिए।

हल:

R समुच्चय Z पर एक संबंध है तथा R = {(a, b), a ∈ Z, b ∈ Z, a – b एक पूर्णांक संख्या है।

प्रांत (R) = Z

परिसर (R) = Z.

Exercise 2.3

प्रश्न 1.

निम्नलिखित संबंधों में से कौन से फलन हैं ? कारण का उल्लेख कीजिए। यदि संबंध एक फलन है तो उसका परिसर निर्धारित कीजिए।

(i) {(2,1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}

(ii) {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}

(iii) {(1, 3), (1, 5), (2, 5)}

हल:

(i) माना R = {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}

यह संबंध एक फलन है क्योंकि किसी भी दो क्रमित युग्म का पहला घटक बराबर नहीं है।

प्रान्त = {2, 6, 8, 11, 14, 17} तथा परिसर = {1}.

(ii) माना R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}

यह एक फलन है क्योंकि किसी भी दो क्रमित युग्म का पहला घटक बराबर नहीं है।

अतः प्रांत = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, परिसर = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

(iii) यह एक फलन नहीं है क्योंकि (1, 3), (1, 5) में पहला घटक समान है।

प्रश्न 2.

निम्नलिखित वास्तविक फलनों के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।

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प्रश्न 3.

एक फलन f(x) = 2x – 5 द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित के मान लिखिए:

(i) f(0)

(ii) f(7)

(iii) f(-3)

हल:

f(x) = 2x – 5

(i) f(0) = 2 x 0 – 5 = -5

(ii) f(7) = 14 – 5 = 9

(iii) f(-3) = 2 x (-3) – 5 = – 6 – 5 = – 11.

प्रश्न 4.

फलन ‘t’ सेल्सियस तापमान का फारेनहाइट तापमान में प्रतिचित्रण करता है, जो t(C) = \frac { 9C }{ 5 }+ 32 द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:

(i) t(0)

(ii) t(28)

(iii) t(-10)

(iv) C का मान, जब t(C) = 212

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प्रश्न 5.

निम्नलिखित में से प्रत्येक फलन का परिसर ज्ञात कीजिए:

(i) f(x) = 2 – 3x, x ∈ R, x > 0.

(ii) f(x) = x² + 2, x एक वास्तविक संख्या है।

(iii) f(x) = x, एक वास्तविक संख्या है।

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अध्याय 2 पर विविध प्रश्नावली

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प्रश्न 8.

मान लीजिए कि f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)} Z से Z में, f(x) = ax + b, द्वारा परिभाषित एक फलन है, जहाँ a, b कोई पूर्णाक हैं। a, b को निर्धारित कीजिए।

हल:

दिया है :

f = {(1, 1), (2, 3), (0, – 1), (-1, – 3)}

और f(x) = ax + b …..(A)

जब x = 1; y = 1, हो तब a + b = 1 …..(i)

और जबे x = 2, y = 3, 2a + b = 3 …..(ii)

समीकरण (i) और (ii) से,

a = 2, b = -1

a तथा b के इन मानों को समीकरण (A) में रखने पर,

f(x) = 2x – 1

जब x = 0, f(x) = -1

और जब x = -1, f(x) = -3

अतः f(x) = 2x – 1 तथा a = 2, b = -1.

प्रश्न 9.

R = {(a, b) : a, b ∈ N तथा a = b2} द्वारा परिभाषित N से N में, एक संबंध R है। क्या निम्नलिखित कथन सत्य है।

(i) {a, a} ∈ R सभी a ∈ N

(ii) (a, b) ∈ R का तात्पर्य है कि (b, a) ∈ R

(iii) (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R का तात्पर्य है कि (a, c) ∈ R? प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।

हल:

(i) a = a यह सत्य है जब a = 0, 0 ∉ N,

अत: यह एक संबंध नहीं है।

(ii) a = b2, और b = a2, यह a, b ∈ N, a, b के सभी मूल्यों के लिए सत्य नहीं है। अत: यह एक संबंध नहीं है।

(iii) जब a = b2, b = c2 तब a ≠ c2

यह संबंध नहीं है।

प्रश्न 10.

मान लीजिए A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 5, 9, 11, 15, 16} और f = {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}, क्या निम्नलिखित कथन सत्य है ?

(i) f, Aसे B में एक संबंध है।

(ii) f, A से B में एक फलन है। प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

हल:

(i) दिया है: A = {1, 2, 3, 4} तथा B = {1, 5, 9, 11, 15, 16}

A x B = {(1, 1), (1, 5), (1, 9), (1,11), (1, 15), (1, 16), (2, 1), (2, 5), (2, 9), (2, 11), (2, 15), (2, 16), (3, 1), (3, 5), (3, 9), (3, 11), (3, 15), (3,16), (4, 1), (4, 5), (4,9), (4, 11), (4, 15), (4, 16)}

अवयव, A x B का उपसमुच्चय है।

अतः यह एक संबंध है।

(ii) f में (2, 9) और (2, 11) अवयव प्रथम घटक दोनों युग्मों में 2 है।

यह फलन नहीं है।

प्रश्न 11.

मान लीजिए कि f, f = {(ab, a + b); a, b ∈ Z} द्वारा परिभाषित Z x Z का एक उपसमुच्चय है। क्या f, Z से Z में एक फलन है ? अपने उत्तर का औचित्य भी स्पष्ट कीजिए।

हल:

मान लीजिए a = 0, b = 1 हो, तब

ab = 0 और a + b = 0 + 1 = 1

पुनः माना a = 0, b = 2 हो, तब

ab = 0, a + b = 2.

अवयव 0 के दो प्रतिबिंब 1 और 2 हैं।

अत: f एक फलन नहीं है।

प्रश्न 12.

मान लीजिए कि A= {9, 10, 11, 12, 13} तथा f : A → N, f(n) = n का महत्तम अभाज्य गुणक द्वारा परिभाषित है।/का परिसर ज्ञात करो।

हल:

यदि n = 9 = 3 x 3 तो 3 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।

n= 10 = 2 x 5 तो 5 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।

n = 11 = 1 x 11 तो 11 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।

n = 12 = 22 x 3 तो 3 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।

n = 13 = 1 x 13 तो 13 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।

अतः f का परिसर = {3, 5, 11, 13}.

एनसीईआरटी सोलूशन्स क्लास 11 गणित-I 

एनसीईआरटी सोलूशन्स क्लास 11 गणित-II


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