NCERT Solutions Class 12 गणित-I Chapter-5 (सांतत्य तथा अवकलनीयता)

NCERT Solutions Class 12 गणित-I 12 वीं कक्षा से Chapter-5 (सांतत्य तथा अवकलनीयता) के उत्तर मिलेंगे। यह अध्याय आपको मूल बातें सीखने में मदद करेगा और आपको इस अध्याय से अपनी परीक्षा में कम से कम एक प्रश्न की उम्मीद करनी चाहिए।

हमने NCERT बोर्ड की टेक्सटबुक्स हिंदी गणित-I के सभी Questions के जवाब बड़ी ही आसान भाषा में दिए हैं जिनको समझना और याद करना Students के लिए बहुत आसान रहेगा जिस से आप अपनी परीक्षा में अच्छे नंबर से पास हो सके।

एनसीईआरटी प्रश्न-उत्तर

Class 12 गणित-I

पाठ-5 (सांतत्य तथा अवकलनीयता)

अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर

Exercise 5.1

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x – 3, x = 0, x = – 3 तथा x = 5 पर संतत है।
उत्तर
यहाँ, f(x) = 5x – 3

(iii) उपरोक्त की भाँति स्वयं हल कीजिए।
नोट-चूँकि दिया गया फलन f(x) = 5x – 3 बहुपद है।
∴ यह ∀ x ∈ R के लिए संतत है।

प्रश्न 2.
x = 3 पर फलन f(x) = 2x² – 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
उत्तर
यहाँ, f(x) = 2x -1

अतः x = 3 पर f संतत है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए

उत्तर
(a) f(x) = x – 5
∵ (x – 5) एक बहुपद है।
अत: प्रत्येक बिन्दु x∈R पर f संतत है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xⁿ, x = n पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णाक है।
उत्तर
दिया है- f(x) = xⁿ एक बहुपदीय फलन है।
संतत है, यदि x ∈ R तथा x ∈ N
यहाँ x = n एक पूर्णांक है।
अत: f(x) = xⁿ संतत फलन है।

प्रश्न 5.

उत्तर
x = 0 तथा x = 2 पर फलन एक बहुपद है।
अतः x = 0 तथा x = 2 पर फलन सतत है।
x = 1 पर, f(x) = x, x<1 के लिए, f(x) = 5, x>1 के लिए

प्रश्न 6.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।

उत्तर

प्रश्न 7.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।

उत्तर

प्रश्न 8.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
उत्तर-

प्रश्न 9.

उत्तर-

प्रश्न 10.

उत्तर-

प्रश्न 11.

उत्तर

प्रश्न 12.

उत्तर

प्रश्न 13.
क्या

द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
उत्तर

प्रश्न 14.

उत्तर

प्रश्न 15.

उत्तर

प्रश्न 16.

उत्तर

प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए

द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
उत्तर

स्वेच्छा से b के मान के लिए a का मान ज्ञात किया जा सकता हैं।

प्रश्न 18.
λ के किस मान के लिए।

यदि x = 0 द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सातत्य पर विचार कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णाक बिन्दुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक निरूपित करता है, जो x के बराबर अथवी x से कम है।
उत्तर
x = c पूर्णांक पर, g(x) = x – [x]

अतः x = c पूर्णाक पर, f संतत नहीं है।

प्रश्न 20.
क्या f(x) = x² – sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
उत्तर
माना
f(x) = x² – sin x + 5

प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए
(a) f(x) = sin x + cos x
(b) f(x) = sin x – cos x
(c) f(x) = sin x.cos x
उत्तर

प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए।
उत्तर
(a) माना f(x) = cos x

प्रश्न 23.
f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ

उत्तर

प्रश्न 24.
निम्न प्रकार से परिभाषित फलन की सातत्यता की जाँच x = 0 पर कीजिए

उत्तर

प्रश्न 25.

उत्तर

प्रश्न 26.

उत्तर

प्रश्न 27.

द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर।
उत्तर

प्रश्न 28.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन

द्वारा परिभाषित फलन x = π पर सतत् है।
उत्तर

प्रश्न 29.

द्वारा परिभाषित फलने x = 5 पर।
उत्तर

प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि

द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
उत्तर

प्रश्न 31.
दर्शाइए कि f(x) = c0s x² द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
उत्तर
ज्ञात है- f(x) = cos x²

f(c) = cos c²
अत: f(x) = cos x² एक संतत फलन है। इति सिद्धम्

प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या sin|x| एक संतत फलन है।
उत्तर
माना f(x) = sin | x|
x = c ∈ R पर,

f(c) = sin|c|
अतः x = c ∈ R पर f एक संतते फलन है।।

प्रश्न 34.
f(x) = |x|-|x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
उत्तर
ज्ञात है- f(x) = |x|-|x +1|
f(x) = – x -[-(x + 1)] जब x< – 1]
= -x + x + 1 = 1
f(x) = – x – (x + 1), [जब – 1≤ x < 0]
= – x – x – 1
= – 2x – 1
f(x) = x – (x + 1), जब x≥ 0
= x – x – 1 = -1

Exercise 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
sin(x²+5)
उत्तर
माना y = sin(x²+5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= cos (x² + 5) (2x + 0)
= 2x cos (x² + 5)

प्रश्न 2.
cos (sin x)
उत्तर
माना y = cos (sin x)
माना sin x = t
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
∴ y = cos t से,
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने

= – sin t cos x = -sin (sin x)cos x

प्रश्न 3.
sin (ax+b)
उत्तर
माना y = sin (ax + b)
ax+ b = t रखने पर, y = sin t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
sec (tan√x)
उत्तर
माना y = sec (tan (√x))
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.

उत्तर
माना …(1)

प्रश्न 6.
cos x³.sin² x⁵
उत्तर
माना y = cos x³.sin² x⁵
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.

उत्तर
माना

प्रश्न 8.
cos(√x)
उत्तर
माना y = cos(√x) ….(1)
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) =|x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
उत्तर
दिया है- f (x) = |x – 1| x∈R

R.H.D. ≠ L.H.D.
अत: x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णाक फलन f(x) = [x],0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
उत्तर
ज्ञात है, f(x) = [x]

Exercise 5.3

निम्नलिखित प्रश्नों में $Solutions Class 12 गणित-I Chapter-5 (सांतत्य तथा अवकलनीयता)$ ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1
2x + 3y = sinx
उत्तर
ज्ञात है, 2x + 3y = sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2
2x + 3y = siny
उत्तर
दिया है- 2x + 3y = siny
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3
ax + by² = cosy
उत्तर
ज्ञात है- ax + by² = cosy
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4
xy + y² = tan x + y
उत्तर
दिया है xy + y² = tan x + y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5
x² + xy + y² = 100
उत्तर
दिया है x² + xy + y² = 100
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6
x³ + x²y + xy² + y³ = 81
उत्तर
दिया है x³ + x²y + xy² + y³ = 81
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7
sin² y + cos xy = k
उत्तर
दिया है sin² y + cos xy = k
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8
sin² x + cos² y = 1
उत्तर
दिया है sin² x + cos² y = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.

उत्तर
दिया है-

प्रश्न 10.

उत्तर

प्रश्न 11.

उत्तर

प्रश्न 12.

उत्तर

प्रश्न 13.

उत्तर

प्रश्न 14.

उत्तर

प्रश्न 15.

उत्तर

Exercise 5.4

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1

उत्तर
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2

उत्तर
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3

उत्तर
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4
sin(tan^-1 e^x)
उत्तर
माना sin(tan^-1 e^x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5
log(cos e^x)
उत्तर
माना log(cos e^x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6

उत्तर
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7

उत्तर
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8
log(log x), x>1
उत्तर
माना log(log x), x>1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9

उत्तर
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10
cos(log x + e^x)
उत्तर
माना cos(log x + e^x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

Exercise 5.5

प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
cos x.cos 2x.cos 3x
उत्तर
माना y = cos x. cos 2x. cos 3x …(1)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
logy = log (cos x. cos2x. cos 3x)
= log cos x + log cos 2 x + log cos 3x
[∵ log m.n = log m + log n]
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.

उत्तर

प्रश्न 3.
(log x)^{cos x}
उत्तर
माना y = (log x)^{cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log (log x)^{cos x} = cos x log (log x), [∵log mⁿ = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
x^x – 2^{sin x}
उत्तर
माना y = x^x – 2^{sin x}
पुनः माना u = x^x, v = 2^{sin x}
y = u – v
u = x^x
से दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर, log u = log x^x = x log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
(x + 3)² .(x + 4)³ .(x + 5)⁴
उत्तर
माना y = (x + 3)² .(x + 4)³ .(x + 5)⁴
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)² .(x + 4)³ (x + 5)⁴]
= log (x + 3)² + log (x + 4)³ + log (x + 5)⁴
[∵ log mn = log m + log n]
= 2 log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5)
[∵ log mⁿ = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.

उत्तर

प्रश्न 7.
(log x)^x + x^{log x}
उत्तर
माना y = (log x)^x + x^{log x}
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
(sin x)^x + sin^-1√x
उत्तर
माना y = (sin x)^x + sin^-1√x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
उत्तर
माना x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
उत्तर

प्रश्न 11.
(x cos x)^x + (xsin x)^1/x
उत्तर
माना y = (x cos x)^x + (x sin x)^1/x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 12.
x^y + y^x = 1
उत्तर
दिया है, ∵ x^y + y^x = 1
माना u = x^y, v = y^x ∵ u + v = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
y^x = x^y
उत्तर
दिया है, y^x = x^y
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, log y^x = log x^y
x log y = y log x
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 14.
(cos x)^y = (cos y)^x
उत्तर
दिया है, (cos x)^y = (cos y)^x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log (cos x)^y = log (cos y)^x या y log cos x = x log cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 15.
xy = e^(x-y)
उत्तर
दिया है, xy = e^(x-y)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
log (xy) = log e^(x-y)
या log x + log y = (x – y) log_e e [∵ log xy = log x + log y]
या log x + log y = x – y [∵ log_ee = 1]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिया है, f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log f (x) = log [(1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)]
या log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x²) + log (1 + x⁴) + log (1 + x⁸)

प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
उत्तर
(i) गुणनफल नियम के प्रयोग द्वारा ।
माना y = (x² – 5x + 8). (x³ + 7x + 9)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 18.
यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि ।

उत्तर
(i) माना y = u . v . w = u. (v. w)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

Exercise 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में तथाy के लिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना $Solutions Class 12 गणित-I Chapter-5 (सांतत्य तथा अवकलनीयता)$ ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
x = 2at², y = at⁴
उत्तर
दिया है, x = 2at² तथा y = at⁴
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
x = a cos θ, y = b cos θ
उत्तर
दिया है : x = a cos θ तथा y = b cos θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
x = sin t, y = cos 2t
उत्तर
दिया है, x = sin t तथा y = cos 2t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$Solutions Class 12 गणित-I Chapter-5 (सांतत्य तथा अवकलनीयता)$

प्रश्न 4.
x = 4t, $Solutions Class 12 गणित-I Chapter-5 (सांतत्य तथा अवकलनीयता)$
उत्तर
दिया है, x = 4t तथा $Solutions Class 12 गणित-I Chapter-5 (सांतत्य तथा अवकलनीयता)$
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
उत्तर
दिया है, x = cosθ – cos 2θ तथा y = sin θ – sin 2θ
x = cos θ – cos 2θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cosθ)
उत्तर

प्रश्न 7

उत्तर

प्रश्न 8

उत्तर

प्रश्न 9.
x = a sec θ, y = b tan θ
उत्तर
दिया है, x = a sec θ तथा y = b tan θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
x = a (cos θ + θ sin θ), y = a(sin θ – θcos θ)
उत्तर

प्रश्न 11.

उत्तर

Exercise 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

x² + 3x + 2
उत्तर
माना y = x² + 3x + 2
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
दोनों पक्षों का पुन: x में सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
x²⁰
उत्तर
माना y = x²⁰
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
x cos x
उत्तर
माना y = x cos x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
log x
उत्तर
माना y = log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

दोनों पक्षों को पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x³ log x
उत्तर
माना y = x³ log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= 2x + 3x + 6x log x
= 5x + 6x log x
= x (5 + 6 log x)

प्रश्न 6.
e^x sin 5x
उत्तर
माना y = e^x sin 5x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
e^6x cos 3x
उत्तर
माना y = e^6x cos 3x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
tan^-1x
उत्तर
माना y = tan^-1x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
log (log x)
उत्तर
माना y = log (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
sin (log x)
उत्तर
माना y = sin (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
यदि y = 5 cos x – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि

उत्तर
दिया है, y = 5 cos x – 3 sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 12.
यदि y = cos^-1 x है तो को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिया है, y = cos^-1 x
⇒ x = cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.

उत्तर

प्रश्न 14.

उत्तर

प्रश्न 15

उत्तर

प्रश्न 16

उत्तर

प्रश्न 17

उत्तर

Exercise 5.8

प्रश्न 1.
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x∈[-4,2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5,9]
(ii) f(x) = [x] के लिए x∈[-2,2]
(ii) f(x) = x² – 1 के लिए x∈[1,2]
उत्तर
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5, 9]
f(x) = [x], बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) = [x], x∈[-2, 2]
f(x) = [x], बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = (x² – 1), x∈[1, 2] के लिए
f(1) = 1 – 1 = 0,
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
चूँकि f, [1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2).
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f :[-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f ‘ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) ≠ f(5).
उत्तर
दिया है, f:[-5, 5]→ R
f संतत है तथा अवकलनीय है लेकिन f” (x) ≠ 0
अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है
(i) [a, b] में f संतत है।
(ii) (a, b) में f अवकलित होता है।
(iii) f(a) = f(b)
f ‘(c) = 0 c ∈(a, b)
f ‘(c) ≠ 0
⇒ f(a) ≠ f(b)
f(- 5) ≠ f(5) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a = 1 और b = 4 है।
उत्तर
दिया है, (x) = x² – 4x – 3,[1,4] अन्तराल के लिए f एक बहुपदीय व्यंजक है। यह 1,4 में संतत तथा (1, 4) में अवकलनीय दोनों है।

प्रश्न 5.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f ‘(c) = 0 के लिए c∈(1, 3) को ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिया है, f(x) = x³ – 5x² – 3x
[1, 3] में f संतत है और (1, 3) में अवकलनीय है क्योकि यह बहुपदीय है।

प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपर्युक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
उत्तर
(i) f(x) = [x],
x∈[5,9]
दिये हुए अन्तराल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii)
f(x) =[x], x ∈[-2, 2 ]
दिये हुए अन्तराल [-2, 2] में f बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = x² – 1, x ∈[1, 2]
यह एक बहुपदीय फलन है। यह अन्तराल [1,2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।