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NCERT Solutions Class 10 गणित Chapter-8 (त्रिकोणमिति का परिचय)

NCERT Solutions Class 10 गणित Chapter-8 (त्रिकोणमिति का परिचय)

NCERT Solutions Class 10  गणित  10 वीं कक्षा से Chapter-8 (त्रिकोणमिति का परिचय) के उत्तर मिलेंगे। यह अध्याय आपको मूल बातें सीखने में मदद करेगा और आपको इस अध्याय से अपनी परीक्षा में कम से कम एक प्रश्न की उम्मीद करनी चाहिए। 
हमने NCERT बोर्ड की टेक्सटबुक्स हिंदी गणित के सभी Questions के जवाब बड़ी ही आसान भाषा में दिए हैं जिनको समझना और याद करना Students के लिए बहुत आसान रहेगा जिस से आप अपनी परीक्षा में अच्छे नंबर से पास हो सके।
Solutions Class 10 गणित Chapter-8 (त्रिकोणमिति का परिचय)
एनसीईआरटी प्रश्न-उत्तर

Class 10 गणित

पाठ-8 (त्रिकोणमिति का परिचय)

अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर

प्रश्नावली 8.1 

प्र. 1. ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है| निम्न लिखित का मान ज्ञात कीजिए :

(i) sin A, cos A

(ii) sin C, cos C

हलः

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प्र. 2. आकृति में, tan P cot R का मान ज्ञात कीजिए|

हलः

एक समकोण ΔPQR में, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।

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प्र० 3. यदि sin  A = \frac { 3 }{ 4 }, तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।

हलः एक त्रिभुज ABC लें, जो कि B पर समकोण है। इससे हमें ∠A के लिए प्राप्त होता है कि

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प्र० 4. यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।

हलः माना समकोण ΔABC में, हमें प्राप्त है।

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प्र० 5. sec θ = \frac { 13 }{ 12 }, हो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।

हलः माना समकोण ΔABC में ∠B = 90° माना, ∠A = θ और

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प्र० 6. यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हो, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B.

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प्र० 9. त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan  A = \frac { 1 }{ \surd 3 }, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

(i) sin A cos C + cos A sin C

(ii) c0s A cos C sin A sin C

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प्र० 10. ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 सेमी. और PQ = 5 सेमी. है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।

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प्र० 11. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

(i) tan A को मान सदैव 1 से कम होता है।

(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = \frac { 12 }{ 5 }

(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।

(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।

(v) किसी भी कोण 8 के लिए sin θ = \frac { 4 }{ 3 }

हलः

(i) असत्यः [चूकि, समकोण त्रिभुज में कर्ण के अतिरिक्त अन्य दो भुजाओं का अनुपात 1 के समान या असमान हो सकता है।]

(ii) सत्यः [ cos A का मान सदैव 1 से कम होता है।

\frac { 1 }{ cos A }अर्थात् sec A का मान 1 से सदैव बड़ा होता है।]

(iii) असत्यः [cosine A को संक्षिप्त रूप ‘cos A’ होता है।]

(iv) असत्यः [अकेले ‘cot’ का कोई अर्थ नहीं है। cot A एक ही त्रिकोणमितीय अनुपात होता है।]

(v) असत्यः [का मान 1 से अधिक है, जबकि sin 8 का मान 1 से अधिक नहीं हो सकता]

प्रश्नावली 8.2 

प्र० 1. निम्नलिखित के मान निकालिएः

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प्र० 2. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :

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प्र० 3. यदि tan (A + B) = √3 और tan  (A B) = \frac { 1 }{ \surd 3 }; 0° < A + B ≤ 90°; A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।

हलः तालिका से, हमें प्राप्त होता है:

tan 60° = √3 …(1)

चूंकि tan (A + B) = √3 [ज्ञात है] …(2)

(1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है।

A + B = 60° ………(3)

इसी प्रकार,

A B = 30° ………. (4)

(3) और (4) को जोड़ने पर, 2A = 90° ⇒ A = 45°

(3) में से (4) को घटाने पर, 2B = 30° ⇒ B = 15°

प्र० 4. बताइए कि निम्नलिखित में कौनकौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

(i) sin (A + B) = sin A + sin B.

(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।

(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।

(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ

(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।

हलः (i) माना

A = 30° और B = 60°

L.H.S. = sin (30° + 60°) = sin 90° = 1

R.H.S. = sin 30° + sin 60° = \frac { 1 }{ 2 } +\frac { \surd 3 }{ 2 } =\frac { 1+\surd 3 }{ 2 }

L.H.S. ≠ R.H.S.

कथन “sin (A+ B) = sin A + sin B” असत्य है।

(ii) चूँकि “जब θ का मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो sin θ का मान 0 से 1 तक बढ़ता है।”

दिया गया कथन सही है।

(iii) चूँकि “जब θ का माप 0° से 90° तक बढ़ता है, तो cos θ का मान 1 से 0 तक घटता है।”

दिया गया कथन असत्य है।

(iv) माना θ = 30° है।

तालिका से हमें प्राप्त होता है: sin 30° = \frac { 1 }{ 2 }और cos 30° = \frac { \surd 3 }{ 2 }

sin 30° ≠ cos 30°

अतः दिया गया कथन असत्य है।

(v) तालिका से हमें प्राप्त है: cot 0° = अपरिभाषित

अतः दिया गया कथन सत्य है।

प्रश्नावली 8.3 

प्र० 1. निम्नलिखित का मान निकालिएः

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(iii) cos 48° – sin 42°

हल: cos 48° – sin 42°

⇒ sin(90° – 48°) – sin 42°

⇒ sin 42° – sin 42° = 0

(iv) cosec 31° – sec 59°

हल: cosec 31° – sec 59°

⇒ sec (90° – 31°) – sec 59° [ cosec q = sec (90° – q) ]

⇒ sec 59° – sec 59° = 0

प्र० 2. दिखाइए कि

(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1

(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0

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प्र० 3. यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए|

हल: tan 2A = cot (A – 18°),

⇒ cot (90° – 2A) = cot(A – 18°)

दोनों पक्षों में तुलना करने पर

⇒ 90° – 2A = A – 18°

⇒ 90° + 18° = A + 2A

⇒ 3A = 108°

⇒ A = 36°

प्र० 4. यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°

हल: tan A = cot B दिया है |

⇒ tan A = tan (90° – B)

तुलना करने पर

⇒ A = 90° – B

⇒ A + B = 90°

Proved.

प्र० 5. यदि sec 4A = cosec(A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए|

हल: sec 4A = cosec(A – 20°)

⇒ cosec (90° – 4A) = cosec(A – 20°) [sec q = (90°- q)]

तुलना करने पर

⇒ 90° – 4A = A – 20°

⇒ 90° + 20° = A + 4A

⇒ 5A = 110°

⇒ A = 22°

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प्र० 7. sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितिय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए|

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प्रश्नावली 8.4

प्र० 1. त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।

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प्र० 4. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:

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प्र० 5. निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण है :

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